$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 x$を半角の公式を使って変形します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

したがって、与えられた積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$

積分を分割します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{2} \left[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx \right]$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = \left[\frac{1}{2}\sin 2x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin (-\pi) = 0 - 0 = 0$

したがって、

$\frac{1}{2} \left[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx \right] = \frac{1}{2} [\pi - 0] = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$