与えられた関数 $y = (1 + x^2)\arctan(x)$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (1 + x^2)\arctan(x)$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式と $\arctan(x)$ の微分公式を利用します。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、$\arctan(x)$ の微分は $\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$ です。

まず、$u = 1 + x^2$、$v = \arctan(x)$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(1+x^2) = 2x$

$v' = \frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$

積の微分公式を適用すると、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2x\arctan(x) + (1+x^2)\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = 2x\arctan(x) + 1$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x\arctan(x) + 1$