$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 + x - 14}{x^3 - x^2 - x - 2}$ を求める問題です。

## 問題の解答

### (1) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 + x - 14}{x^3 - x^2 - x - 2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母に $x=2$ を代入すると、それぞれ $3(2)^2 + 2 - 14 = 12 + 2 - 14 = 0$ と $2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$ となり、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。そこで、分子と分母を因数分解します。

分子は $3x^2 + x - 14 = (x-2)(3x+7)$ と因数分解できます。

分母は $x^3 - x^2 - x - 2$ ですが、$x=2$ で0になることから $(x-2)$ を因数に持つことがわかります。実際に割り算を行うと、$x^3 - x^2 - x - 2 = (x-2)(x^2 + x + 1)$ と因数分解できます。

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 + x - 14}{x^3 - x^2 - x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(3x+7)}{(x-2)(x^2+x+1)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x+7}{x^2+x+1}$

$x \to 2$ の極限を計算すると

$\frac{3(2)+7}{2^2 + 2 + 1} = \frac{6+7}{4+2+1} = \frac{13}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{7}$

### (2) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x=0$ を代入すると、$\frac{e^0 - \cos 0}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$ となり、不定形です。

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - \cos x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{1}$

$x \to 0$ の極限を計算すると

$\frac{e^0 + \sin 0}{1} = \frac{1+0}{1} = 1$

3. 最終的な答え

$1$

### (3) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x=0$ を代入すると、$\frac{0 - \sin^{-1} 0}{0^3} = \frac{0-0}{0} = \frac{0}{0}$ となり不定形です。

$\sin^{-1} x$ のマクローリン展開は、$\sin^{-1} x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \dots$ です。

これを用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - (x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \dots)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{40}x^5 - \dots}{x^3} = \lim_{x \to 0} (-\frac{1}{6} - \frac{3}{40}x^2 - \dots) = -\frac{1}{6}$

または、ロピタルの定理を繰り返し用いることもできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{3x^2 \sqrt{1-x^2}}$

さらにロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{6x\sqrt{1-x^2} + 3x^2 \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{-x\sqrt{1-x^2}}{6x(1-x^2)-3x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{6\sqrt{1-x^2}(1-x^2)-3x^2\sqrt{1-x^2}}$

$=\lim_{x \to 0} \frac{-1}{6(1-x^2) + \dots} = \frac{-1}{6}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{6}$

### (4) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3x+5} - 2}{\sqrt[3]{x} - 1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x=1$ を代入すると、$\frac{\sqrt[3]{3+5} - 2}{\sqrt[3]{1} - 1} = \frac{\sqrt[3]{8} - 2}{1 - 1} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ となり不定形です。

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3x+5} - 2}{\sqrt[3]{x} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{3x+5} - 2)}{\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x} - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3}(3x+5)^{-2/3} \cdot 3}{\frac{1}{3}x^{-2/3}} = \lim_{x \to 1} \frac{(3x+5)^{-2/3}}{x^{-2/3}}$

$x \to 1$ の極限を計算すると

$\frac{(3(1)+5)^{-2/3}}{1^{-2/3}} = \frac{(8)^{-2/3}}{1} = \frac{1}{8^{2/3}} = \frac{1}{(2^3)^{2/3}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$