与えられた関数の導関数を求める問題です。問題には4つの関数が含まれています。 (1) $y = \sin(2x+3)$ (2) $y = \cos^2 x$ (3) $y = \cot 3x$ (4) $y = \frac{\sin x}{2 + \sin x}$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。問題には4つの関数が含まれています。

(1) $y = \sin(2x+3)$

(2) $y = \cos^2 x$

(3) $y = \cot 3x$

(4) $y = \frac{\sin x}{2 + \sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin(2x+3)$

合成関数の微分法を用います。

$y' = \cos(2x+3) \cdot (2x+3)' = \cos(2x+3) \cdot 2 = 2\cos(2x+3)$

(2) $y = \cos^2 x$

合成関数の微分法を用います。

$y' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x$

(3) $y = \cot 3x$

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ なので、$\cot x$ の微分は $-\frac{1}{\sin^2 x}$ です。

合成関数の微分法を用いると、

$y' = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot (3x)' = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$

(4) $y = \frac{\sin x}{2 + \sin x}$

商の微分法を用います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \sin x$, $v = 2 + \sin x$ とすると、$u' = \cos x$, $v' = \cos x$

$y' = \frac{\cos x (2 + \sin x) - \sin x \cos x}{(2 + \sin x)^2} = \frac{2\cos x + \sin x \cos x - \sin x \cos x}{(2 + \sin x)^2} = \frac{2\cos x}{(2 + \sin x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2\cos(2x+3)$

(2) $y' = -\sin 2x$

(3) $y' = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$

(4) $y' = \frac{2\cos x}{(2 + \sin x)^2}$