与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について導関数を求めます。 (3) $y = (1 + x^2) \tan^{-1} x$ (4) $y = \sin^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について導関数を求めます。

(3) $y = (1 + x^2) \tan^{-1} x$

(4) $y = \sin^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}$

2. 解き方の手順

(3) $y = (1 + x^2) \tan^{-1} x$ の導関数を求めます。積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = 1 + x^2$, $v = \tan^{-1} x$ とおくと、

$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{1 + x^2}$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2x \tan^{-1} x + (1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2} = 2x \tan^{-1} x + 1$

(4) $y = \sin^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}$ の導関数を求めます。

$\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{d}{dx} (\sqrt{1 - x^2}) = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 + x}{\sqrt{(1 - x)(1 + x)}} = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x + 1$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$