(1) 放物線 $y = -x^2 - x + 2$ と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 (2) 定積分 $\int_0^3 |x^2 - x - 2| dx$ を計算せよ。 (3) 等式 $f(x) = x \int_{-1}^1 f(t) dt + 1$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = -x^2 - x + 2$ と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

(2) 定積分 $\int_0^3 |x^2 - x - 2| dx$ を計算せよ。

(3) 等式 $f(x) = x \int_{-1}^1 f(t) dt + 1$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = -x^2 - x + 2$ と x軸の交点を求める。

$-x^2 - x + 2 = 0$ を解くと、

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

したがって、交点の x 座標は -2 と 1 である。

放物線と x 軸で囲まれた図形の面積は、定積分で求められる。積分区間は -2 から 1 である。放物線は区間内で $y \ge 0$ であるから、面積は、

$S = \int_{-2}^1 (-x^2 - x + 2) dx$

$= \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^1$

$= \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

$= -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6$

$= -\frac{9}{3} - \frac{1}{2} + 8$

$= -3 - \frac{1}{2} + 8$

$= 5 - \frac{1}{2}$

$= \frac{10}{2} - \frac{1}{2}$

$= \frac{9}{2}$

(2) 定積分 $\int_0^3 |x^2 - x - 2| dx$ を計算する。

まず、$x^2 - x - 2 = 0$ を解くと、$(x-2)(x+1) = 0$ となり、$x = 2, -1$ である。

したがって、$0 \le x \le 3$ の範囲では、

$0 \le x \le 2$ のとき、$x^2 - x - 2 \le 0$ なので $|x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2)$

$2 \le x \le 3$ のとき、$x^2 - x - 2 \ge 0$ なので $|x^2 - x - 2| = x^2 - x - 2$

よって、

$\int_0^3 |x^2 - x - 2| dx = \int_0^2 -(x^2 - x - 2) dx + \int_2^3 (x^2 - x - 2) dx$

$= \int_0^2 (-x^2 + x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - x - 2) dx$

$= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^2 + \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x \right]_2^3$

$= \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - 0 + \left( \frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right)$

$= -\frac{8}{3} + 2 + 4 + 9 - \frac{9}{2} - 6 - \frac{8}{3} + 2 + 4$

$= -\frac{16}{3} - \frac{9}{2} + 15$

$= -\frac{32}{6} - \frac{27}{6} + \frac{90}{6}$

$= \frac{31}{6}$

(3) 等式 $f(x) = x \int_{-1}^1 f(t) dt + 1$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

$\int_{-1}^1 f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_{-1}^1 f(t) dt$ とおく。

すると、$f(x) = Ax + 1$ となる。

これを $A = \int_{-1}^1 f(t) dt$ に代入すると、

$A = \int_{-1}^1 (At + 1) dt$

$A = \left[ \frac{At^2}{2} + t \right]_{-1}^1$

$A = \left( \frac{A}{2} + 1 \right) - \left( \frac{A}{2} - 1 \right)$

$A = \frac{A}{2} + 1 - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

したがって、$f(x) = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $\frac{31}{6}$

(3) $f(x) = 2x + 1$