問題は、以下の2つです。 (1) 関数 $y = x^3 + ax^2 + ax + 4$ が極値を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (2) 次の接線の方程式を求める。 (i) $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線。 (ii) $y = x^3 - x^2 - 2x + 3$ において、傾きが3の接線。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つです。

(1) 関数 $y = x^3 + ax^2 + ax + 4$ が極値を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(2) 次の接線の方程式を求める。

(i) $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線。

(ii) $y = x^3 - x^2 - 2x + 3$ において、傾きが3の接線。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = x^3 + ax^2 + ax + 4$ が極値を持つ条件は、$y'$ が異なる2つの実数解を持つことです。

$y' = 3x^2 + 2ax + a$

$y' = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ が必要です。

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 4a^2 - 12a > 0$

$4a(a - 3) > 0$

したがって、$a < 0$ または $a > 3$

したがって、解答欄1には0、解答欄2には3が入ります。

(2) (i)

$y = x^3 - x$ のとき、$y' = 3x^2 - 1$

点 $(1, 0)$ における接線の傾きは、$y'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2$

したがって、接線の方程式は $y - 0 = 2(x - 1)$ より、$y = 2x - 2$

したがって、解答欄3には2、解答欄4には2が入ります。

(ii)

$y = x^3 - x^2 - 2x + 3$ のとき、$y' = 3x^2 - 2x - 2$

傾きが3の接線を求めるので、$y' = 3$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 2x - 2 = 3$

$3x^2 - 2x - 5 = 0$

$(3x - 5)(x + 1) = 0$

$x = \frac{5}{3}, -1$

$x = \frac{5}{3}$ のとき、$y = (\frac{5}{3})^3 - (\frac{5}{3})^2 - 2(\frac{5}{3}) + 3 = \frac{125}{27} - \frac{25}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{125 - 75 - 90 + 81}{27} = \frac{41}{27}$

接線は $y - \frac{41}{27} = 3(x - \frac{5}{3})$

$y = 3x - 5 + \frac{41}{27} = 3x - \frac{135-41}{27} = 3x - \frac{94}{27}$

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 - 1 + 2 + 3 = 3$

接線は $y - 3 = 3(x + 1)$

$y = 3x + 3 + 3 = 3x + 6$

したがって、解答欄5,6には94、解答欄7,8には27、解答欄9には6が入ります。

3. 最終的な答え

(1) $a < 0, a > 3$

(2) (i) $y = 2x - 2$

(ii) $y = 3x - \frac{94}{27}$ と $y = 3x + 6$