(1) 放物線 $y = -x^2 + x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。 (2) 定積分 $\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2| \, dx$ を計算する。 (3) 等式 $f(x) = x \int_{-1}^{1} f(t) \, dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = -x^2 + x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

(2) 定積分 $\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2| \, dx$ を計算する。

(3) 等式 $f(x) = x \int_{-1}^{1} f(t) \, dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x-2)(x+1)$.

$x$ 軸との交点は $x = -1, 2$ である。

求める面積は

$\int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^{2} = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = -\frac{9}{3} + 6 - \frac{1}{2} + 2 = -3 + 8 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.

(2)

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

$-3 \le x \le 0$ において、$x^2 - x - 2 = 0$ となるのは $x = -1$ のとき。

$-3 \le x \le -1$ のとき $x^2 - x - 2 \ge 0$ であり、$-1 \le x \le 0$ のとき $x^2 - x - 2 \le 0$ である。

したがって、

$\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2| \, dx = \int_{-3}^{-1} (x^2 - x - 2) \, dx + \int_{-1}^{0} -(x^2 - x - 2) \, dx$.

$\int_{-3}^{-1} (x^2 - x - 2) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-3}^{-1} = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -9 - \frac{9}{2} + 6 \right) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 9 + \frac{9}{2} - 6 = 5 + \frac{8}{2} - \frac{1}{3} = 5 + 4 - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

$\int_{-1}^{0} -(x^2 - x - 2) \, dx = \int_{-1}^{0} (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2-3+12}{6} = \frac{7}{6}$.

$\int_{-3}^{0} |x^2 - x - 2| \, dx = \frac{26}{3} + \frac{7}{6} = \frac{52 + 7}{6} = \frac{59}{6}$.

(3)

$f(x) = x \int_{-1}^{1} f(t) \, dt + 2$.

$A = \int_{-1}^{1} f(t) \, dt$ とおくと、$f(x) = Ax + 2$.

$A = \int_{-1}^{1} (At + 2) \, dt = \left[ \frac{1}{2}At^2 + 2t \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{2}A + 2 \right) - \left( \frac{1}{2}A - 2 \right) = 4$.

よって、 $f(x) = 4x + 2$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $\frac{59}{6}$

(3) $f(x) = 4x + 2$