1. 問題の内容
は 1 でない正の実数とします。関数 のグラフに関する記述のうち、正しいものを全て選びなさい。
2. 解き方の手順
1. $\log_a x$ の定義より、 $x > 0$ です。したがって、$x=0$ は定義域に含まれません。よって、グラフは点 $(0,1)$ を通りません。
2. $y = \log_a x$ と $y = a^x$ は互いに逆関数の関係にあり、グラフは直線 $y = x$ に関して対称です。
3. $y = \log_a x$ と $y = \log_{\frac{1}{a}} x$ について考えます。底の変換公式より、$\log_{\frac{1}{a}} x = \frac{\log_a x}{\log_a \frac{1}{a}} = \frac{\log_a x}{\log_a a^{-1}} = \frac{\log_a x}{-1} = -\log_a x$ となります。したがって、$y = \log_{\frac{1}{a}} x$ は $y = -\log_a x$ となります。よって、$y = \log_a x$ のグラフと $y = \log_{\frac{1}{a}} x$ のグラフは、$x$軸に関して対称です。
4. $a < 1$ のとき、$y = \log_a x$ のグラフは右下がりの曲線になります。例えば、$a = \frac{1}{2}$ のときを考えると分かりやすいです。
5. $a > 1$ のとき、$y = \log_a x$ のグラフは右上がりの曲線になります。例えば、$a = 2$ のときを考えると分かりやすいです。
6. $y = \log_a x$ に $x = a$ を代入すると、$y = \log_a a = 1$ となります。したがって、グラフは点 $(a, 1)$ を通ります。
3. 最終的な答え
2, 3, 6