定積分 $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = 4-x^2$ と置換します。すると、$\frac{du}{dx} = -2x$ より、$dx = -\frac{du}{2x}$となります。

積分範囲も変更します。

$x = -2$ のとき、$u = 4-(-2)^2 = 4-4 = 0$

$x = 2$ のとき、$u = 4-(2)^2 = 4-4 = 0$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{0} x\sqrt{u} \left(-\frac{du}{2x}\right) = -\frac{1}{2} \int_{0}^{0} \sqrt{u} du$$

積分範囲が同じなので、積分の値は0になります。

または、被積分関数 $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ は奇関数であることからも積分が0になるとわかります。

実際、$f(-x) = (-x)\sqrt{4-(-x)^2} = -x\sqrt{4-x^2} = -f(x)$ となるため、$f(x)$ は奇関数です。

奇関数の積分区間が原点に関して対称である場合、積分の値は0になります。

3. 最終的な答え

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