与えられた関数について、定義域、導関数を計算し、増減表を作成することで、関数の増減を調べます。 (1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ (2) $f(x) = xe^{-x}$ (3) $f(x) = x \log x$

はい、承知いたしました。問題文に記載されている3つの関数について、増減を調べて回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数について、定義域、導関数を計算し、増減表を作成することで、関数の増減を調べます。

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

(2) $f(x) = xe^{-x}$

(3) $f(x) = x \log x$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減を調べます。

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

- 定義域：実数全体

- 導関数を計算します。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

- $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x(x-2)(x+1) = 0$ より、$x = -1, 0, 2$

- 増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :---- | :--- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :--- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

- $f(-1) = 3 + 4 - 12 = -5$

- $f(0) = 0$

- $f(2) = 3(16) - 4(8) - 12(4) = 48 - 32 - 48 = -32$

(2) $f(x) = xe^{-x}$

- 定義域：実数全体

- 導関数を計算します。

$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

- $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x} > 0$ なので、$1-x = 0$ より、$x = 1$

- 増減表を作成します。

| x | ... | 1 | ... |

| :---- | :--- | :-- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 |

- $f(1) = e^{-1} = 1/e$

(3) $f(x) = x \log x$

- 定義域：$x > 0$

- 導関数を計算します。（$\log$ は自然対数とします）

$f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

- $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\log x + 1 = 0$ より、$\log x = -1$, よって $x = e^{-1} = 1/e$

- 増減表を作成します。

| x | 0 | ... | 1/e | ... |

| :---- | :-- | :--- | :-- | :--- |

| f'(x) | | - | 0 | + |

| f(x) | | 減少 | 極小 | 増加 |

- $f(1/e) = (1/e) \log (1/e) = (1/e) (-1) = -1/e$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

- $x < -1$ で減少、 $-1 < x < 0$ で増加、$0 < x < 2$ で減少、$2 < x$ で増加

- $x = -1$ で極小値 $-5$、$x = 0$ で極大値 $0$、$x = 2$ で極小値 $-32$

(2) $f(x) = xe^{-x}$

- $x < 1$ で増加、$1 < x$ で減少

- $x = 1$ で極大値 $1/e$

(3) $f(x) = x \log x$

- $0 < x < 1/e$ で減少、$1/e < x$ で増加

- $x = 1/e$ で極小値 $-1/e$