関数 $y = x^2 + \frac{2}{x}$ の極小値とその時の $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + \frac{2}{x}$ の極小値とその時の $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2x - \frac{2}{x^2}$

(2) 極値をとる $x$ を求めるために、$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - \frac{2}{x^2} = 0$

$2x = \frac{2}{x^2}$

$x^3 = 1$

$x = 1$

(3) $x=1$ のときに極小値をとることを確認するために、二階微分を計算します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2 + \frac{4}{x^3}$

$x=1$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = 2 + \frac{4}{1^3} = 2 + 4 = 6 > 0$ となるので、$x=1$ で極小値をとります。

(4) $x=1$ のときの $y$ の値を計算します。

$y = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

関数 $y = x^2 + \frac{2}{x}$ は、$x = 1$ のとき極小値 $3$ をとります。