ベータ関数 $B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$ を利用して、ガンマ関数 $\Gamma(\frac{1}{2})$ の値を計算する。

1. 問題の内容

ベータ関数 $B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$ を利用して、ガンマ関数 $\Gamma(\frac{1}{2})$ の値を計算する。

2. 解き方の手順

ベータ関数とガンマ関数の関係式を利用する。ベータ関数はガンマ関数を用いて以下のように表せる。

$B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

問題文より、$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$ であるから、上記の関係式に $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{1}{2})^2}{\Gamma(1)}$

$\Gamma(1) = 1$ であるから、

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \Gamma(\frac{1}{2})^2$

問題文より、$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$ であるから、

$\pi = \Gamma(\frac{1}{2})^2$

$\Gamma(\frac{1}{2}) > 0$ であるから、

$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$

3. 最終的な答え

$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$