以下の3つの関数の導関数を求めます。 (1) $\arccos x$ (2) $\log |\log |x||$ (3) $e^{x^x}$

1. 問題の内容

以下の3つの関数の導関数を求めます。

(1) $\arccos x$

(2) $\log |\log |x||$

(3) $e^{x^x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \arccos x$ の導関数を求めます。

$x = \cos y$ と書き換えます。

両辺を $x$ で微分すると、$1 = -\sin y \frac{dy}{dx}$ となります。

したがって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$ となります。

$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ なので、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ となります。

(2) $y = \log |\log |x||$ の導関数を求めます。

合成関数の微分法を利用します。

まず、$u = \log |x|$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ です。

次に、$v = \log |u|$ とすると、$\frac{dv}{du} = \frac{1}{u}$ です。

最後に、$y = \log |v|$ とすると、$\frac{dy}{dv} = \frac{1}{v}$ です。

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \frac{dv}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{v} \frac{1}{u} \frac{1}{x} = \frac{1}{\log |x|} \frac{1}{\log |x|} \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log |x| \log |\log |x||}$ となります。

(3) $y = e^{x^x}$ の導関数を求めます。

まず、$u = x^x$ とすると、$y = e^u$ です。

$u = x^x$ の両辺の自然対数を取ると、$\log u = x \log x$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ となります。

したがって、$\frac{du}{dx} = u (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$ となります。

$y = e^u$ の導関数は $\frac{dy}{du} = e^u = e^{x^x}$ です。

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = e^{x^x} \cdot x^x (\log x + 1) = x^x e^{x^x} (\log x + 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $\frac{d}{dx} \log |\log |x|| = \frac{1}{x \log |x| \log |\log |x||}$

(3) $\frac{d}{dx} e^{x^x} = x^x e^{x^x} (\log x + 1)$