与えられた関数を対数微分法を用いて微分する問題です。$x>0$という条件が与えられています。 (1) $y = (2x)^x$ (2) $y = x^{\sin x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を対数微分法を用いて微分する問題です。$x>0$という条件が与えられています。

(1) $y = (2x)^x$

(2) $y = x^{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (2x)^x$ の場合

まず、両辺の自然対数を取ります。

$$\ln y = \ln (2x)^x = x \ln(2x)$$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln(2x))$$

右辺は積の微分法を使います。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln(2x) + 1$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = y(\ln(2x) + 1) = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$$

(2) $y = x^{\sin x}$ の場合

まず、両辺の自然対数を取ります。

$$\ln y = \ln (x^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln x$$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin x \cdot \ln x)$$

右辺は積の微分法を使います。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$