SENSEI AI
About App

与えられた2つの陰関数について、$\frac{dy}{dx}$を求めよ。 (1) $y^5 = x^2 - 1$ (2) $x^2 - xy - y^2 = 2$

解析学陰関数微分連鎖律導関数
2025/6/5

1. 問題の内容

与えられた2つの陰関数について、dydx\frac{dy}{dx}を求めよ。
(1) y5=x2−1y^5 = x^2 - 1
(2) x2−xy−y2=2x^2 - xy - y^2 = 2

2. 解き方の手順

(1) y5=x2−1y^5 = x^2 - 1
両辺をxxで微分する。
ddx(y5)=ddx(x2−1)\frac{d}{dx}(y^5) = \frac{d}{dx}(x^2 - 1)
連鎖律を用いて、
5y4dydx=2x5y^4 \frac{dy}{dx} = 2x
dydx=2x5y4\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{5y^4}
(2) x2−xy−y2=2x^2 - xy - y^2 = 2
両辺をxxで微分する。
ddx(x2−xy−y2)=ddx(2)\frac{d}{dx}(x^2 - xy - y^2) = \frac{d}{dx}(2)
2x−(xdydx+y)−2ydydx=02x - (x \frac{dy}{dx} + y) - 2y \frac{dy}{dx} = 0
2x−xdydx−y−2ydydx=02x - x \frac{dy}{dx} - y - 2y \frac{dy}{dx} = 0
dydx(−x−2y)=−2x+y\frac{dy}{dx}(-x - 2y) = -2x + y
dydx=2x−yx+2y\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}

3. 最終的な答え

(1) dydx=2x5y4\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{5y^4}
(2) dydx=2x−yx+2y\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}

「解析学」の関連問題

次の関数を微分せよ。 (1) $y = 2\sin x \cos x (1 - 2\sin^2 x)$ (2) $y = (\sin x - \cos x)^2$

微分三角関数導関数合成関数
2025/6/6

$x \to \infty$のとき、次の各組の関数について、どちらの関数がより速く増大するかを比の極限値を用いて調べる問題です。 (1) $e^{2x}$ と $10x^9 + 5x^5 + 2x^2...

極限関数の増大指数関数多項式関数ロピタルの定理
2025/6/6

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を計算します。

極限ロピタルの定理三角関数微分
2025/6/6

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x-\pi)^2}$ を計算する問題です。

極限ロピタルの定理三角関数
2025/6/6

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を計算します。

極限ロピタルの定理テイラー展開三角関数
2025/6/6

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を求めます。

極限三角関数ロピタルの定理テイラー展開
2025/6/6

放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ 上の点 $P(a, -a^2 + 2a)$ における接線 $l_1$ の方程式を求め、原点 $O$ における $C_1$ の接線 $l_2$ との交点...

微分接線積分面積放物線
2025/6/6

C上を動く点Pがあり、Pからx軸に垂直な線を引いた交点をH、y軸に垂直な線を引いた交点をIとする。点Pのx座標をtとする。 (i) $1 < t < 6$ のとき、PHをtで表し、四角形OIPHが正方...

3次関数微分グラフ最大値二次方程式
2025/6/6

与えられた関数 $f(x)$ について、$f(1)$ の値を求め、さらに $y=f(x)$ のグラフの概形として最も適切なものを選択する。 関数は以下のように定義されています。 $f(x) = \be...

関数の定義関数の値グラフ区分関数放物線直線のグラフ連続性
2025/6/6

与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$ の微分 $y'$ を求める問題です。

微分合成関数チェーンルール関数の微分
2025/6/6