複素数平面上で点 $A_0$ を $z_0 = 1+i$ で表し、$z_1 = \alpha z_0$, $z_n = \alpha z_{n-1}$ となる点 $A_n$ を考える。ただし、$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}i$ である。三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積を $S_n$ とするとき、$\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上で点 $A_0$ を $z_0 = 1+i$ で表し、$z_1 = \alpha z_0$, $z_n = \alpha z_{n-1}$ となる点 $A_n$ を考える。ただし、$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}i$ である。三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積を $S_n$ とするとき、$\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ の絶対値を計算する。

$|\alpha| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{36} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{4}{12}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

次に、$z_n$ を求める。

$z_n = \alpha z_{n-1} = \alpha (\alpha z_{n-2}) = \alpha^2 z_{n-2} = \cdots = \alpha^n z_0$

よって、$z_n = \alpha^n (1+i)$

次に、三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ を計算する。

$S_n = \frac{1}{2} |(Re(z_{n-1})Im(z_n) - Re(z_n)Im(z_{n-1}))|$

$z_{n-1} = \alpha^{n-1} z_0 = \alpha^{n-1} (1+i)$

$z_n = \alpha^n z_0 = \alpha^n (1+i)$

$z_{n-1} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^{n-1} e^{i(n-1)\theta} (1+i) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^{n-1} e^{i(n-1)\theta} \sqrt{2} e^{i \pi/4}$

$z_n = (\frac{1}{\sqrt{3}})^n e^{in\theta} (1+i) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^n e^{in\theta} \sqrt{2} e^{i \pi/4}$

ただし、$\theta = \arg(\alpha) = \arctan(\frac{1/2}{\sqrt{3}/6}) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$S_n = \frac{1}{2} |z_{n-1}||z_n| \sin(\theta) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-1} \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{3})$

$S_n = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{3})^{2n-1}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{(\sqrt{3})^{2n-1}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{(\sqrt{3})}{3^n} = \frac{3}{2 \cdot 3^n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{3}{4}$