$0 \le x \le \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x}$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、関数 $y = \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x}$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$y = \sqrt{3}\cos{x} + \sin{x} = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} + \frac{1}{2}\sin{x}\right)$

ここで、$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ であることを利用すると、

$y = 2\left(\cos{\frac{\pi}{6}}\cos{x} + \sin{\frac{\pi}{6}}\sin{x}\right) = 2\cos{\left(x - \frac{\pi}{6}\right)}$

次に、$0 \le x \le \pi$ の範囲で $x - \frac{\pi}{6}$ の範囲を求めます。

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

したがって、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$ の範囲で $\cos{\left(x - \frac{\pi}{6}\right)}$ の最大値と最小値を考えます。

$\cos{\left(x - \frac{\pi}{6}\right)}$ の最大値は $x - \frac{\pi}{6} = 0$ のときで、$\cos{0} = 1$。

$\cos{\left(x - \frac{\pi}{6}\right)}$ の最小値は $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ または $x - \frac{\pi}{6} = \pi$のときで、$\cos{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\cos \pi = -1$ です。

$x - \frac{\pi}{6}$ が $0$ から $\frac{5\pi}{6}$ までの間を動くとき、$\cos{(x-\frac{\pi}{6})}$ は $1$ から $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ まで減少し、$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ が最小値になります。

したがって、$y$ の最大値は $2 \times 1 = 2$ で、$x - \frac{\pi}{6} = 0$ より $x = \frac{\pi}{6}$ のとき。

$y$ の最小値は $2 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$ で、$x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ より $x = \pi$ のとき。

3. 最終的な答え

最大値：$2$ ($x = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値：$-\sqrt{3}$ ($x = \pi$ のとき)