$0 \le x \le \pi$ のとき、$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の合成を用いて変形する。

$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x)$

ここで、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 、$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ であるから、

$y = 2 (\cos \frac{\pi}{6} \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \sin x) = 2 \cos (x - \frac{\pi}{6})$

次に、 $x$ の範囲が $0 \le x \le \pi$ であるから、$x - \frac{\pi}{6}$ の範囲を求める。

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5}{6} \pi$

したがって、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{5}{6} \pi$

$y = 2 \cos (x - \frac{\pi}{6})$ の最大値と最小値を求める。

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{5}{6} \pi$ において、$\cos (x - \frac{\pi}{6})$ の最大値は $x - \frac{\pi}{6} = 0$ のときで、値は $1$。最小値は $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5}{6} \pi$ のときで、値は $\cos \frac{5}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$。ただし、$x - \frac{\pi}{6} = \pi$となることはないので、$x-\frac{\pi}{6} = \frac{5}{6}\pi$となる場合を考える必要がある。また、$x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}$のときは$\cos(x-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる。$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{5 \pi}{6}$において、$\cos(x-\frac{\pi}{6})$は$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$のとき$0$になる。$x - \frac{\pi}{6} = \pi$のときは$\cos \pi = -1$となるが、範囲外なので考慮しない。

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$のとき、$\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$y$ の最大値は $2 \times 1 = 2$ であり、最小値は $2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: $-\sqrt{3}$