複素数平面上で $z_0 = 1 + i$ が表す点を $A_0$ とし、$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{6}i$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。以下、$z_n = \alpha z_{n-1}$ ($n = 2, 3, \dots$) が表す点を $A_n$ とするとき、三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ ($n \ge 1$) を求め、さらに $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

1. 問題の内容

複素数平面上で $z_0 = 1 + i$ が表す点を $A_0$ とし、$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{6}i$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。以下、$z_n = \alpha z_{n-1}$ ($n = 2, 3, \dots$) が表す点を $A_n$ とするとき、三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ ($n \ge 1$) を求め、さらに $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ の絶対値と偏角を求める。

$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{6}i$ より、

$|\alpha| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{3}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{4}{36}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

$\arg \alpha = \theta$ とすると、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{6} / \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = \frac{1}{6} / \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$

次に、複素数 $z_n$ を求める。

$z_n = \alpha z_{n-1} = \alpha (\alpha z_{n-2}) = \alpha^2 z_{n-2} = \dots = \alpha^n z_0$

$|z_0| = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\arg z_0 = \frac{\pi}{4}$

$|z_n| = |\alpha^n z_0| = |\alpha|^n |z_0| = (\frac{1}{3})^n \sqrt{2}$

$\arg z_n = n \arg \alpha + \arg z_0 = n (\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{4} = \frac{n \pi}{6} + \frac{\pi}{4}$

次に、$S_n$ を求める。$S_n$ は三角形 $OA_{n-1} A_n$ の面積なので、

$S_n = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin (\arg z_n - \arg z_{n-1}) = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin (\arg (\alpha z_{n-1}) - \arg z_{n-1}) = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin (\arg \alpha)$

$S_n = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n-1} \sqrt{2} (\frac{1}{3})^n \sqrt{2} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{2n-1} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3})^{2n-1} = \frac{1}{4} \cdot 3 (\frac{1}{9})^n = \frac{3}{4} (\frac{1}{9})^n$

最後に、$\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める。これは等比数列の和である。

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4} (\frac{1}{9})^n = \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{9})^n = \frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{32}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{3}{4} (\frac{1}{9})^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{3}{32}$