$0 \leq x < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos x \leq \sqrt{3} \sin x$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \leq x < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos x \leq \sqrt{3} \sin x$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を $\cos x$ で割ることを考えますが、$\cos x$ の符号によって不等号の向きが変わるので注意が必要です。そこで、まず $\cos x = 0$ となる場合を考えます。$\cos x = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ のときです。このとき、不等式は $0 \leq \sqrt{3} \sin x$ となり、$\sin x$ はそれぞれ $1$ と $-1$ なので、$x = \frac{\pi}{2}$ は不等式を満たし、$x = \frac{3\pi}{2}$ は不等式を満たしません。

次に、$\cos x \neq 0$ の場合を考えます。$\cos x$ で両辺を割って、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ を使うことを考えます。

$\cos x > 0$ のとき、不等式は $\tan x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

$\cos x < 0$ のとき、不等式は $\tan x \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは $x = \frac{\pi}{6}$ のときです。

$0 \leq x < 2\pi$ において、$\tan x$ の周期は $\pi$ であるため、$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは $x = \frac{\pi}{6}$ と $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ のときです。

$\cos x > 0$ となるのは $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ のときです。

この範囲で $\tan x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは、$\frac{\pi}{6} \leq x < \frac{\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ において存在しない。

よって、$\frac{\pi}{6} \leq x < \frac{\pi}{2}$

$\cos x < 0$ となるのは $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$ のときです。

この範囲で $\tan x \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは、$\frac{\pi}{2} < x \leq \frac{7\pi}{6}$ のときです。

以上より、解は $\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{7\pi}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{7\pi}{6}$