与えられた問題は、次の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$を有利化します。分母と分子に$\sqrt{k} - \sqrt{k+1}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \cdot \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{k - (k+1)} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{-1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

これは望遠鏡和であり、次のように展開できます。

$(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

項が打ち消し合い、$\sqrt{n+1} - \sqrt{1}$だけが残ります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+1} - 1$