問題は、次の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$

1. 問題の内容

問題は、次の和を求めることです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$

2. 解き方の手順

まず、和の各項を有利化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(k+2) - k} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2}$

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k})$

この和は望遠鏡和（telescoping sum）であるため、多くの項が打ち消し合います。具体的に書き下すと、次のようになります。

$\frac{1}{2}[(\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{4}-\sqrt{2}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{6}-\sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2}-\sqrt{n})]$

残る項は次のようになります。

$\frac{1}{2}(-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2})$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2})$