(1) $\cos\frac{2}{9}\pi + \cos\frac{4}{9}\pi + \cos\frac{5}{9}\pi + \cos\frac{7}{9}\pi$ の値を求める。 (2) $\sin\frac{13}{14}\pi + \cos\frac{11}{14}\pi + \sin\frac{5}{7}\pi - \sin\frac{1}{14}\pi$ の値を求める。

はい、承知いたしました。それでは、画像の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) $\cos\frac{2}{9}\pi + \cos\frac{4}{9}\pi + \cos\frac{5}{9}\pi + \cos\frac{7}{9}\pi$ の値を求める。

(2) $\sin\frac{13}{14}\pi + \cos\frac{11}{14}\pi + \sin\frac{5}{7}\pi - \sin\frac{1}{14}\pi$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

和積の公式を利用します。

$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

まず、$\cos\frac{2}{9}\pi + \cos\frac{7}{9}\pi$ を計算します。

$\cos\frac{2}{9}\pi + \cos\frac{7}{9}\pi = 2 \cos \frac{\frac{2}{9}\pi + \frac{7}{9}\pi}{2} \cos \frac{\frac{2}{9}\pi - \frac{7}{9}\pi}{2} = 2 \cos \frac{\frac{9}{9}\pi}{2} \cos \frac{\frac{-5}{9}\pi}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cos (-\frac{5}{18}\pi) = 2 \cdot 0 \cdot \cos (-\frac{5}{18}\pi) = 0$

次に、$\cos\frac{4}{9}\pi + \cos\frac{5}{9}\pi$ を計算します。

$\cos\frac{4}{9}\pi + \cos\frac{5}{9}\pi = 2 \cos \frac{\frac{4}{9}\pi + \frac{5}{9}\pi}{2} \cos \frac{\frac{4}{9}\pi - \frac{5}{9}\pi}{2} = 2 \cos \frac{\frac{9}{9}\pi}{2} \cos \frac{\frac{-1}{9}\pi}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cos (-\frac{1}{18}\pi) = 2 \cdot 0 \cdot \cos (-\frac{1}{18}\pi) = 0$

したがって、$\cos\frac{2}{9}\pi + \cos\frac{4}{9}\pi + \cos\frac{5}{9}\pi + \cos\frac{7}{9}\pi = 0 + 0 = 0$

(2)

$\sin\frac{13}{14}\pi = \sin(\pi - \frac{1}{14}\pi) = \sin\frac{1}{14}\pi$

$\cos\frac{11}{14}\pi = \cos(\pi - \frac{3}{14}\pi) = -\cos\frac{3}{14}\pi = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{7}\pi) = -\sin\frac{2}{7}\pi$

$\sin\frac{5}{7}\pi = \sin(\pi - \frac{2}{7}\pi) = \sin\frac{2}{7}\pi$

$\sin\frac{13}{14}\pi + \cos\frac{11}{14}\pi + \sin\frac{5}{7}\pi - \sin\frac{1}{14}\pi = \sin\frac{1}{14}\pi - \sin\frac{2}{7}\pi + \sin\frac{2}{7}\pi - \sin\frac{1}{14}\pi = 0$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0