与えられた関数の $n$ 次導関数を求める問題です。 (1) $x \sin x$ (2) $x^2 e^{3x}$

1. 問題の内容

与えられた関数の $n$ 次導関数を求める問題です。

(1) $x \sin x$

(2) $x^2 e^{3x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

$u = x$, $v = \sin x$ とおく。

$u' = 1$, $u'' = 0$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 2$

$\sin x$ の導関数は周期的に $\sin x$, $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ となる。

$\sin x$ の $n$ 次導関数は $\sin(x + \frac{n\pi}{2})$ と表せる。

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{(n-k)} (\sin x)^{(k)}$

$= \binom{n}{0} x (\sin x)^{(n)} + \binom{n}{1} (1) (\sin x)^{(n-1)}$

$= x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$= x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

(2) $g(x) = x^2 e^{3x}$ の $n$ 次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

$u = x^2$, $v = e^{3x}$ とおく。

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$e^{3x}$ の導関数は $3^k e^{3x}$ となる。

$g^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(n-k)} (e^{3x})^{(k)}$

$= \binom{n}{0} x^2 (e^{3x})^{(n)} + \binom{n}{1} (2x) (e^{3x})^{(n-1)} + \binom{n}{2} (2) (e^{3x})^{(n-2)}$

$= x^2 (3^n e^{3x}) + n (2x) (3^{n-1} e^{3x}) + \frac{n(n-1)}{2} (2) (3^{n-2} e^{3x})$

$= x^2 3^n e^{3x} + 2xn 3^{n-1} e^{3x} + n(n-1) 3^{n-2} e^{3x}$

$= e^{3x} 3^{n-2} [9x^2 + 6nx + n(n-1)]$

3. 最終的な答え

(1) $x \sin x$ の $n$ 次導関数は

$x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

(2) $x^2 e^{3x}$ の $n$ 次導関数は

$e^{3x} 3^{n-2} [9x^2 + 6nx + n(n-1)]$