二変数関数 $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求めます。

## HW 11.1 (1)の問題

1. 問題の内容

二変数関数 $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求めます。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

このとき、$\sqrt{x^2 + y^2} = r$ となり、$(x, y) \to (0, 0)$ は $r \to 0$ に対応します。

元の式に代入すると、

$$$$

\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r} = r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r\cos(2\theta)

$$$$

となります。

$r \to 0$ のとき、$\cos(2\theta)$ は $-1$ から $1$ の間の値を取るので、

$$$$

\lim_{r \to 0} r\cos(2\theta) = 0

$$$$

となります。

3. 最終的な答え

0

## HW 11.1 (2)の問題

1. 問題の内容

二変数関数 $\frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求めます。

2. 解き方の手順

異なる経路から極限を求め、一致しないことを示します。

(i) $y = 0$ に沿って近づく場合:

$\frac{x^2 - 2(0)^2}{2x^2 + (0)^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$ となり、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ です。

(ii) $x = 0$ に沿って近づく場合:

$\frac{(0)^2 - 2y^2}{2(0)^2 + y^2} = \frac{-2y^2}{y^2} = -2$ となり、

$\lim_{y \to 0} -2 = -2$ です。

(i) と (ii) で極限値が異なるため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。

## HW 11.2の問題

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y$ の定義を述べます。

2. 解き方の手順

偏導関数の定義に従って記述します。

$f_y(x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$

3. 最終的な答え

$f_y(x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$

## HW 11.3 (1)の問題

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = (3x - 4y + 5)^{10}$ を偏微分します。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行います。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot \frac{\partial (3x - 4y + 5)}{\partial x} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot 3 = 30(3x - 4y + 5)^9$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot \frac{\partial (3x - 4y + 5)}{\partial y} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot (-4) = -40(3x - 4y + 5)^9$

3. 最終的な答え

$f_x = 30(3x - 4y + 5)^9$

$f_y = -40(3x - 4y + 5)^9$

## HW 11.3 (2)の問題

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$ を偏微分します。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(x^2 + 2y^2) - xy(2x)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^2y + 2y^3 - 2x^2y}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{2y^3 - x^2y}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{y(2y^2 - x^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 + 2y^2) - xy(4y)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^3 + 2xy^2 - 4xy^2}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^3 - 2xy^2}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x(x^2 - 2y^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$

3. 最終的な答え

$f_x = \frac{y(2y^2 - x^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$

$f_y = \frac{x(x^2 - 2y^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$