放物線 $y = x^2 - 4x$ 上の点 $A(4, 0)$ における接線を $l$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めます。 (2) 放物線と直線 $l$ および直線 $x = 1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x$ 上の点 $A(4, 0)$ における接線を $l$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めます。

(2) 放物線と直線 $l$ および直線 $x = 1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 - 4x$ を微分すると、

$y' = 2x - 4$

点 $A(4, 0)$ における接線の傾きは、

$y'|_{x=4} = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$

したがって、直線 $l$ の方程式は、

$y - 0 = 4(x - 4)$

$y = 4x - 16$

(2)

放物線 $y = x^2 - 4x$ と直線 $l: y = 4x - 16$ の交点は $x^2 - 4x = 4x - 16$ より、

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

したがって、放物線と直線 $l$ は $x = 4$ で接しています。

直線 $x = 1$ と直線 $l: y = 4x - 16$ の交点は、

$y = 4(1) - 16 = 4 - 16 = -12$

放物線 $y = x^2 - 4x$ と直線 $x = 1$ の交点は、

$y = (1)^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{1}^{4} \{(4x - 16) - (x^2 - 4x)\} dx$

$= \int_{1}^{4} (8x - 16 - x^2) dx$

$= \int_{1}^{4} (-x^2 + 8x - 16) dx$

$= [-\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 16x]_{1}^{4}$

$= (-\frac{1}{3}(4)^3 + 4(4)^2 - 16(4)) - (-\frac{1}{3}(1)^3 + 4(1)^2 - 16(1))$

$= (-\frac{64}{3} + 64 - 64) - (-\frac{1}{3} + 4 - 16)$

$= -\frac{64}{3} - (-\frac{1}{3} - 12)$

$= -\frac{64}{3} + \frac{1}{3} + 12$

$= -\frac{63}{3} + 12$

$= -21 + 12$

$= -9$

絶対値を取って、$S = 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x - 16$

(2) $S = 9$