数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ が $a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ で表されるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a_n = p \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$ を満たす定数 $p$ の値を求めます。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項 $a_n$ が $a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ で表されるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a_n = p \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$ を満たす定数 $p$ の値を求めます。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ と $a_n = p \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$ を比較して、$p$ の値を求めます。

$p \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) = p \left( \frac{(2n+1) - (2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \right) = p \left( \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \right) = \frac{2p}{(2n-1)(2n+1)}$

これが $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ と等しくなるためには、 $2p = 1$ である必要があります。したがって、$p = \frac{1}{2}$ となります。

(2) $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

これは部分分数分解による数列の和であり、以下のように計算できます。

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

括弧の中をよく見ると、多くの項が打ち消しあい、初めの項と最後の項だけが残ります。

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1 - 1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{1}{2}$

(2) $S_n = \frac{n}{2n+1}$