曲線 $y = x^3 - x$ を微分すると、 $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$$ したがって、点 $T(t, t^3 - t)$ における接線の傾きは $3t^2 - 1$ である。 点 $T(t, t^3 - t)$ における接線の方程式は、 $$y - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(x - t)$$ $$y = (3t^2 - 1)x - 3t^3 + t + t^3 - t$$ $$y = (3t^2 - 1)x - 2t^3$$

## 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - x$ 上の点 $T(t, t^3 - t)$ における接線を考える。点 $A(a, b)$ を通る接線が2本存在するとき、$a, b$ が満たす関係式を求めよ。ただし、$a > 0$ かつ $b \neq a^3 - a$ とする。

## 解き方の手順

1. **接線の方程式を求める**:

曲線 $y = x^3 - x$ を微分すると、

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$$

したがって、点 $T(t, t^3 - t)$ における接線の傾きは $3t^2 - 1$ である。

点 $T(t, t^3 - t)$ における接線の方程式は、

$$y - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(x - t)$$

$$y = (3t^2 - 1)x - 3t^3 + t + t^3 - t$$

$$y = (3t^2 - 1)x - 2t^3$$

2. **点 $A(a, b)$ を通る条件を代入する**:

点 $A(a, b)$ がこの接線上にあるので、

$$b = (3t^2 - 1)a - 2t^3$$

$$2t^3 - 3at^2 + a + b = 0$$

この $t$ に関する3次方程式が2つの実数解を持つための条件を考える。

3. **3次方程式の解の条件**:

$f(t) = 2t^3 - 3at^2 + a + b$ とおく。

$f'(t) = 6t^2 - 6at = 6t(t-a)$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 0$ または $t = a$ のとき。

$f(0) = a + b$

$f(a) = 2a^3 - 3a^3 + a + b = -a^3 + a + b$

$f(t) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、$f(0)f(a) = 0$ かつ $f(0) \neq f(a)$。

$f(0) = a + b = 0$ または $f(a) = -a^3 + a + b = 0$。ただし、$a > 0$ かつ $b \neq a^3 - a$ という条件より、$f(a) = -a^3 + a + b = 0$ は除外される。なぜならば、$b = a^3 - a$ が条件に反するため。

したがって、$a+b=0$。

## 最終的な答え

$b = -a$