数列 $\frac{1}{1\cdot4}, \frac{1}{4\cdot7}, \frac{1}{7\cdot10}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{1\cdot4}, \frac{1}{4\cdot7}, \frac{1}{7\cdot10}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列の一般項 $a_n$ は、$a_n = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ と表せる。

この一般項を部分分数分解する。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$

両辺に $(3n-2)(3n+1)$ をかけると、

$1 = A(3n+1) + B(3n-2)$

この等式がすべての $n$ について成り立つためには、

$3A + 3B = 0$

$A - 2B = 1$

これを解くと、$A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{3}$ となる。

したがって、$a_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$ となる。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right]$

$= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right)$

$= \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{3n+1}$