関数 $y = x + \sqrt{6 - x^2}$ の定義域が $-\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$ であるとき、この関数の最大値を求める問題です。導関数 $y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{6-x^2}}$ とグラフを利用して、関数の増減を調べます。$x = -\sqrt{6}$ のとき最小値 $-\sqrt{6}$ をとることがわかっています。最大値をとなる $x$ の値を求め、最大値を特定する必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = x + \sqrt{6 - x^2}$ の定義域が $-\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$ であるとき、この関数の最大値を求める問題です。導関数 $y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{6-x^2}}$ とグラフを利用して、関数の増減を調べます。$x = -\sqrt{6}$ のとき最小値 $-\sqrt{6}$ をとることがわかっています。最大値をとなる $x$ の値を求め、最大値を特定する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、導関数 $y'$ が0になる $x$ の値を求めます。

$y' = 0$ となるのは、

$1 - \frac{x}{\sqrt{6 - x^2}} = 0$

$\frac{x}{\sqrt{6 - x^2}} = 1$

$x = \sqrt{6 - x^2}$

両辺を2乗すると、

$x^2 = 6 - x^2$

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

ただし、$x = \sqrt{6 - x^2}$ より、$x$ は正である必要があるため、$x = \sqrt{3}$ のみが解となります。

次に、$x = \sqrt{3}$ における $y$ の値を求めます。

$y = x + \sqrt{6 - x^2}$ に $x = \sqrt{3}$ を代入すると、

$y = \sqrt{3} + \sqrt{6 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{6 - 3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

したがって、$x = \sqrt{3}$ のとき、$y = 2\sqrt{3}$ となります。

また、与えられた図から、$-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ で $y'$ の正負が変化することを確認します。$x < \sqrt{3}$ では $y' > 0$ で、$x > \sqrt{3}$ では $y' < 0$ となり、$x = \sqrt{3}$ で極大となることがわかります。

最後に、定義域の端点における関数の値をチェックします。$x=-\sqrt{6}$のとき、$y = -\sqrt{6} + \sqrt{6-(-\sqrt{6})^2} = -\sqrt{6} + 0 = -\sqrt{6}$. $x=\sqrt{6}$のとき、$y = \sqrt{6} + \sqrt{6-(\sqrt{6})^2} = \sqrt{6} + 0 = \sqrt{6}$.

これらの値と$x=\sqrt{3}$での値を比較すると、最大値は$x=\sqrt{3}$のときの$2\sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

イ. $x = \sqrt{3}$ のとき、最大値 $2\sqrt{3}$