定積分 $\int_{-2}^{3} (x-1)(x+2) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{3} (x-1)(x+2) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開する。

$(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$

次に、不定積分を求める。

$\int (x^2 + x - 2) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + C$

次に、定積分を計算する。

$\int_{-2}^{3} (x^2 + x - 2) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{3}$

$= \left( \frac{1}{3}(3)^3 + \frac{1}{2}(3)^2 - 2(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 - 2(-2) \right)$

$= \left( \frac{1}{3}(27) + \frac{1}{2}(9) - 6 \right) - \left( \frac{1}{3}(-8) + \frac{1}{2}(4) + 4 \right)$

$= \left( 9 + \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right)$

$= \left( 3 + \frac{9}{2} \right) - \left( -\frac{8}{3} + 6 \right)$

$= 3 + \frac{9}{2} + \frac{8}{3} - 6$

$= -3 + \frac{9}{2} + \frac{8}{3} = -3 + \frac{27}{6} + \frac{16}{6} = -3 + \frac{43}{6} = \frac{-18 + 43}{6} = \frac{25}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{25}{6}$