関数 $y = e^x \sin x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^x \sin x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけます。

$y = e^x \sin x$

$y' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$

$y'' = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = e^x (2\cos x)$

$y''' = e^x (2\cos x) + e^x (-2\sin x) = e^x (2\cos x - 2\sin x) = 2e^x (\cos x - \sin x)$

$y^{(4)} = 2e^x (\cos x - \sin x) + 2e^x (-\sin x - \cos x) = 2e^x (-2\sin x) = -4e^x \sin x$

$y^{(4)} = -4y$　となることがわかります。

ここで、$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$　と変形できることを利用します。

$y' = e^x (\sin x + \cos x) = \sqrt{2} e^x \sin(x + \frac{\pi}{4})$

$y'' = 2e^x \cos x = 2e^x \sin(x + \frac{\pi}{2}) = (\sqrt{2})^2 e^x \sin(x + \frac{2\pi}{4})$

$y''' = 2e^x (\cos x - \sin x) = 2\sqrt{2} e^x \sin(x + \frac{3\pi}{4}) = (\sqrt{2})^3 e^x \sin(x + \frac{3\pi}{4})$

$y^{(4)} = -4e^x \sin x = 4e^x \sin(x + \pi) = (\sqrt{2})^4 e^x \sin(x + \frac{4\pi}{4})$

一般に、$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \sin(x + \frac{n\pi}{4})$ と推測できます。

数学的帰納法で証明します。

n=1の場合、$y' = (\sqrt{2})^1 e^x \sin(x + \frac{\pi}{4})$　は成立します。

n=kの場合、$y^{(k)} = (\sqrt{2})^k e^x \sin(x + \frac{k\pi}{4})$ が成立すると仮定します。

このとき、n=k+1の場合、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} [(\sqrt{2})^k e^x \sin(x + \frac{k\pi}{4})] = (\sqrt{2})^k [e^x \sin(x + \frac{k\pi}{4}) + e^x \cos(x + \frac{k\pi}{4})]$

$= (\sqrt{2})^k e^x [\sin(x + \frac{k\pi}{4}) + \cos(x + \frac{k\pi}{4})]$

$= (\sqrt{2})^k e^x [\sin(x + \frac{k\pi}{4}) + \sin(x + \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{2})]$

$= (\sqrt{2})^k e^x \sqrt{2} \sin(x + \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4})$

$= (\sqrt{2})^{k+1} e^x \sin(x + \frac{(k+1)\pi}{4})$

よって、$n=k+1$ の場合も成立します。

したがって、$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \sin(x + \frac{n\pi}{4})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \sin(x + \frac{n\pi}{4})$