問題は2つあります。 1つ目の問題は、関数 $F(x, y)$ の例を1つ挙げて、次の関係式が成り立つことを示すことです。 $\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial F}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial F}{\partial y})$ 2つ目の問題は、次の微分方程式が完全微分方程式であることを確認した上で、その方程式を解くことです。 $(2x^3 + 2xy)dx + (x^2 + 2y^3)dy = 0$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、関数 $F(x, y)$ の例を1つ挙げて、次の関係式が成り立つことを示すことです。

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial F}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial F}{\partial y})$

2つ目の問題は、次の微分方程式が完全微分方程式であることを確認した上で、その方程式を解くことです。

$(2x^3 + 2xy)dx + (x^2 + 2y^3)dy = 0$

2. 解き方の手順

*問題1*

関数 $F(x, y)$ の例として、$F(x, y) = x^2y^3$ を選びます。

まず、$\frac{\partial F}{\partial x}$ を計算します。

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2y^3) = 2xy^3$

次に、$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial F}{\partial x})$ を計算します。

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial F}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial y} (2xy^3) = 6xy^2$

次に、$\frac{\partial F}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y^3) = 3x^2y^2$

最後に、$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial F}{\partial y})$ を計算します。

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial F}{\partial y}) = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2y^2) = 6xy^2$

したがって、$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial F}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial F}{\partial y})$ が成り立ちます。

*問題2*

微分方程式 $(2x^3 + 2xy)dx + (x^2 + 2y^3)dy = 0$ が完全微分方程式であることを確認します。

$M(x, y) = 2x^3 + 2xy$ および $N(x, y) = x^2 + 2y^3$ とします。

完全微分方程式であるための条件は、$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ であることです。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^3 + 2xy) = 2x$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 2y^3) = 2x$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ であるため、この微分方程式は完全微分方程式です。

次に、完全微分方程式を解きます。

ある関数 $F(x, y)$ が存在し、$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y)$ および $\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$ を満たします。

$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x^3 + 2xy$ を $x$ で積分します。

$F(x, y) = \int (2x^3 + 2xy) dx = \frac{1}{2}x^4 + x^2y + g(y)$ （$g(y)$ は積分定数）

次に、$\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + 2y^3$ を用いて $g(y)$ を求めます。

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}x^4 + x^2y + g(y)) = x^2 + g'(y)$

$x^2 + g'(y) = x^2 + 2y^3$ より、$g'(y) = 2y^3$ です。

$g(y) = \int 2y^3 dy = \frac{1}{2}y^4 + C$ （$C$ は定数）

したがって、$F(x, y) = \frac{1}{2}x^4 + x^2y + \frac{1}{2}y^4 = C$ となります。

3. 最終的な答え

問題1: $F(x, y) = x^2y^3$ の場合、$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial F}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial F}{\partial y}) = 6xy^2$ となる。

問題2: $\frac{1}{2}x^4 + x^2y + \frac{1}{2}y^4 = C$ (Cは定数)

あるいは、

$x^4 + 2x^2y + y^4 = C'$ (C'は定数)