和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、和の一般項を簡略化します。分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ の分母と分子に $\sqrt{k+2} - \sqrt{k}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(k+2) - k} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2}$

したがって、和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k})$

この和は望遠鏡和（telescoping sum）の形をしています。つまり、多くの項がキャンセルされます。

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k}) = \frac{1}{2} [(\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})]$

$= \frac{1}{2} [-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}]$

$= \frac{1}{2} [\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}]$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}}{2}$