関数 $f(x) = e^{-x} \sin x$ （ただし $x > 0$）について、以下の問題を解きます。 (1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (2) 方程式 $f(x) = a$ の異なる正の実数解が2個であるとき、$a$ の値の範囲を求めます。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x} \sin x$ （ただし $x > 0$）について、以下の問題を解きます。

(1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

(2) 方程式 $f(x) = a$ の異なる正の実数解が2個であるとき、$a$ の値の範囲を求めます。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ の最大値と最小値を求めるために、まず導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x} > 0$ より、$\cos x - \sin x = 0$ となる $x$ を探します。

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ (nは整数)

$x > 0$ より、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \dots$

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) = -e^{-x}(2\cos x)$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f''(\frac{\pi}{4}) = -e^{-\frac{\pi}{4}}(2\cos \frac{\pi}{4}) = -e^{-\frac{\pi}{4}}(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}} < 0$

よって、$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値をとります。

極大値 $f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}}\sin \frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}}$

$x = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$f''(\frac{5\pi}{4}) = -e^{-\frac{5\pi}{4}}(2\cos \frac{5\pi}{4}) = -e^{-\frac{5\pi}{4}}(2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \sqrt{2} e^{-\frac{5\pi}{4}} > 0$

よって、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値をとります。

極小値 $f(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{4}}\sin \frac{5\pi}{4} = e^{-\frac{5\pi}{4}} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{5\pi}{4}}$

$f(x)$ は、$x>0$ で、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to 0$ となり、$f(x)$ は振動しながら0に近づきます。

$x = \frac{\pi}{4}$ で最大値 $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}}$ を取ります。

最小値は存在しません。

(2)

$f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つためには、グラフ $y = f(x)$ と直線 $y=a$ が2つの交点を持てば良いです。

$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で最大値 $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}}$ を取り、$x \to \infty$ で $f(x) \to 0$ となります。

また、$a > 0$ である必要があります。

したがって、$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$ (x = $\frac{\pi}{4}$のとき)

最小値：なし

(2) $0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$