和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、和の各項を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+2}+\sqrt{k})(\sqrt{k+2}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{(k+2)-k} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2}$

したがって、和は以下のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2}-\sqrt{k})$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う telescoping sum の形になっています。

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2}-\sqrt{k}) = \frac{1}{2} [(\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{4}-\sqrt{2}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2}-\sqrt{n})]$

この和を整理すると、

$\frac{1}{2} [-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}] = \frac{1}{2} [\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}]$

したがって、求める和は $\frac{1}{2} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2})$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}}{2}$