関数 $f(x) = x|x|$ が与えられています。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求めます。 (2) 導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で微分可能でないことを示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x|x|$ が与えられています。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求めます。

(2) 導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で微分可能でないことを示します。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

まず、$f(x)$ を場合分けして表現します。

$x \geq 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$f(x) = x^2$。

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$f(x) = -x^2$。

したがって、$f(x)$ は次のように書けます。

$f(x) = \begin{cases}

x^2 & (x \geq 0) \\

-x^2 & (x < 0)

\end{cases}$

次に、各場合について微分します。

$x > 0$ のとき、$f'(x) = 2x$。

$x < 0$ のとき、$f'(x) = -2x$。

$x=0$ での微分可能性を調べます。

右側極限： $\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to +0} h = 0$

左側極限： $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to -0} -h = 0$

したがって、$x=0$ においても微分可能であり、$f'(0)=0$ です。

よって、導関数 $f'(x)$ は次のように書けます。

$f'(x) = \begin{cases}

2x & (x \geq 0) \\

-2x & (x < 0)

\end{cases}$

これは $f'(x) = 2|x|$ と表すことができます。

(2) 導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す。

$f'(x) = 2|x|$ であり、これは $x=0$ で微分可能かどうかを調べます。

微分可能性を調べるためには、右側極限と左側極限が一致するかどうかを調べます。

右側極限： $\lim_{h \to +0} \frac{f'(0+h) - f'(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{2|h| - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{2h}{h} = 2$

左側極限： $\lim_{h \to -0} \frac{f'(0+h) - f'(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{2|h| - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-2h}{h} = -2$

右側極限と左側極限が一致しないため、$f'(x)$ は $x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 2|x|$

(2) $f'(x)$ は $x=0$ で微分可能ではない。