関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ の第 $n$ 階導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ の第 $n$ 階導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ のいくつかの導関数を計算して、規則性を見つけます。

$f(x) = (x+1)^{-1}$

$f'(x) = -1(x+1)^{-2} = (-1)^1 1! (x+1)^{-2}$

$f''(x) = (-1)(-2)(x+1)^{-3} = 2(x+1)^{-3} = (-1)^2 2! (x+1)^{-3}$

$f'''(x) = 2(-3)(x+1)^{-4} = -6(x+1)^{-4} = (-1)^3 3! (x+1)^{-4}$

$f''''(x) = -6(-4)(x+1)^{-5} = 24(x+1)^{-5} = (-1)^4 4! (x+1)^{-5}$

これらの結果から、第 $n$ 階導関数は次のようになると推測できます。

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (x+1)^{-(n+1)}$

つまり、

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$