関数 $y = \cos 2x$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ここで、$n \geq 1$ です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2x$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ここで、$n \geq 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、いくつか導関数を計算して規則性を見つけます。

$y = \cos 2x$

$y' = -2\sin 2x = 2\cos(2x + \frac{\pi}{2})$

$y'' = -4\cos 2x = 4\cos(2x + \pi)$

$y''' = 8\sin 2x = 8\cos(2x + \frac{3\pi}{2})$

$y^{(4)} = 16\cos 2x = 16\cos(2x + 2\pi)$

これより、

$y^{(n)} = 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2})$

と推測できます。これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$y' = 2\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -2\sin 2x$ となり、成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = 2^k \cos(2x + \frac{k\pi}{2})$ が成り立つと仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx}y^{(k)} = \frac{d}{dx}(2^k \cos(2x + \frac{k\pi}{2})) = 2^k (-\sin(2x + \frac{k\pi}{2})) \cdot 2 = -2^{k+1}\sin(2x + \frac{k\pi}{2}) = 2^{k+1}\cos(2x + \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 2^{k+1}\cos(2x + \frac{(k+1)\pi}{2})$

となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$y^{(n)} = 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2})$ が成立する。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2})$