与えられた数列の極限を求める問題です。 数列は $\frac{n^2 + 5n + 10}{2n^2 - 2n + 1}$ であり、$n$ が無限大に近づくときのこの数列の極限値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。

数列は $\frac{n^2 + 5n + 10}{2n^2 - 2n + 1}$ であり、$n$ が無限大に近づくときのこの数列の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

数列の極限を求めるために、分子と分母をそれぞれ $n^2$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 5n + 10}{2n^2 - 2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2} + \frac{5n}{n^2} + \frac{10}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{2n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}$

これにより、式は次のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^2}}{2 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$

$n$ が無限大に近づくと、$\frac{5}{n}$, $\frac{10}{n^2}$, $\frac{2}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ はすべて0に近づきます。したがって、式は次のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$