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与えられた数列の極限 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ を求める問題です。

解析学極限数列有理化
2025/6/6

1. 問題の内容

与えられた数列の極限 lim⁡n→∞(n+1−n)\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) を求める問題です。

2. 解き方の手順

n+1−n\sqrt{n+1} - \sqrt{n} の形では、直接 n→∞n \to \infty とすることができません。そこで、有理化を行います。
n+1−n=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
=(n+1)−nn+1+n= \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
=1n+1+n= \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
したがって、
lim⁡n→∞(n+1−n)=lim⁡n→∞1n+1+n\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
n→∞n \to \infty のとき、n+1→∞\sqrt{n+1} \to \infty かつ n→∞\sqrt{n} \to \infty であるから、n+1+n→∞\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty となります。
したがって、1n+1+n→0\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0 となります。

3. 最終的な答え

lim⁡n→∞(n+1−n)=0\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0

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