$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cos(n\pi)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cos(n\pi)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(n\pi)$ を考えます。

$n$ が整数のとき、$n$ が偶数ならば $\cos(n\pi) = 1$、$n$ が奇数ならば $\cos(n\pi) = -1$ となります。

したがって、$\cos(n\pi) = (-1)^n$ と表すことができます。

よって、求める極限は

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} (-1)^n$

となります。

ここで、$-1 \le (-1)^n \le 1$ なので、

$-\frac{1}{n} \le \frac{1}{n} (-1)^n \le \frac{1}{n}$

となります。

$\lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n} = 0$ かつ $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ なので、

はさみうちの原理より、

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} (-1)^n = 0$

となります。

3. 最終的な答え

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