次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x-1|}$

承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x-1|}$

2. 解き方の手順

絶対値記号 $|x-1|$ を外すことを考えます。$x$ が1に近づくとき、$x$ は1より大きい場合と小さい場合があります。

* $x$ が1より大きい場合 ($x > 1$)： $|x-1| = x-1$ となります。このとき、

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1}$

$x$ が1に近づくと、$x-1$ は正の方向から0に近づくため、$\frac{1}{x-1}$ は正の無限大に発散します。したがって、

$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty$

* $x$ が1より小さい場合 ($x < 1$)： $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ となります。このとき、

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x}$

$x$ が1に近づくと、$1-x$ は正の方向から0に近づくため、$\frac{1}{1-x}$ は正の無限大に発散します。したがって、

$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x} = +\infty$

左右からの極限が一致し、かつ正の無限大に発散するため、元の極限も正の無限大に発散します。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x-1|} = +\infty$