与えられた関数 $y = 2\arctan(\frac{x}{2} - 1) + \pi$ のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 2\arctan(\frac{x}{2} - 1) + \pi$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、基本的な逆正接関数 $y = \arctan(x)$ のグラフについて考えます。$\arctan(x)$ は、 $-\frac{\pi}{2} < \arctan(x) < \frac{\pi}{2}$ の範囲の値を取ります。

次に、与えられた関数を以下のように変形して考えます。

$y = 2\arctan(\frac{x}{2} - 1) + \pi$

$\frac{x}{2} - 1$ の部分は、$\arctan$ 関数への入力 $x$ を $\frac{x}{2} - 1$ に置き換えていることを意味します。これにより、グラフは水平方向に伸縮および平行移動します。

具体的には、

* $\frac{x}{2}$ は、グラフをx軸方向に2倍に拡大します。

* $\frac{x}{2} - 1$ は、グラフをx軸方向に2倍に拡大した後、さらにx軸方向に $+2$ 平行移動します。

$2\arctan(\frac{x}{2} - 1)$ は、$\arctan(\frac{x}{2} - 1)$ の値を2倍にしているため、y軸方向に2倍に拡大します。したがって、 $-\pi < 2\arctan(\frac{x}{2} - 1) < \pi$ の範囲の値を取ります。

最後に、$\pi$ を足すことで、グラフ全体がy軸方向に$\pi$だけ平行移動します。したがって、元の関数の範囲は $0 < y < 2\pi$ となります。

したがって、漸近線は、$x \rightarrow -\infty$ のとき $y \rightarrow 0$ であり、$x \rightarrow \infty$ のとき $y \rightarrow 2\pi$ となります。

$\arctan$ の引数が0になるのは、$x = 2$ のときです。このとき、$y = \pi$ となります。

3. 最終的な答え

関数のグラフを描くことを求められていますが、正確なグラフをテキストで表現することは難しいです。しかし、グラフの形状、漸近線、および重要な点を記述することで、グラフの概形を把握することができます。グラフは $\arctan(x)$ のグラフを水平方向に伸縮・平行移動し、垂直方向に伸縮・平行移動したものです。

* 漸近線: $y = 0$ ($x \rightarrow -\infty$), $y = 2\pi$ ($x \rightarrow \infty$)

* 点 (2, $\pi$) を通る