極限値 $S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} (1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4)$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限値 $S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} (1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$S_n = \sum_{k=1}^n k^4$ を計算します。

$S_n$ は $n$ の5次式で表されます。

$S_n = \frac{1}{5}n^5 + \frac{1}{2}n^4 + \frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{30}n$

これは以下の恒等式を利用することで得られます。

$\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

次に、極限を計算します。

\begin{align*}

S &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 \\

&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} \left( \frac{1}{5}n^5 + \frac{1}{2}n^4 + \frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{30}n \right) \\

&= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} - \frac{1}{30n^4} \right)

\end{align*}

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{n^4}$ は 0 に収束します。

よって、

$S = \frac{1}{5} + 0 + 0 - 0 = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{5}$