以下の極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{5x}$$

1. 問題の内容

以下の極限を計算する問題です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{5x}$$

2. 解き方の手順

まず、$x \to 0$ のとき、$\log(1+x+x^2) \to \log(1) = 0$ であり、$5x \to 0$ であるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

したがって、ロピタルの定理を使うことができます。

分子を $f(x) = \log(1+x+x^2)$、分母を $g(x) = 5x$ とすると、

$f'(x) = \frac{1+2x}{1+x+x^2}$

$g'(x) = 5$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1+2x}{1+x+x^2}}{5} = \lim_{x \to 0} \frac{1+2x}{5(1+x+x^2)}$$

$x \to 0$ のとき、$1+2x \to 1$、$1+x+x^2 \to 1$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1+2x}{5(1+x+x^2)} = \frac{1}{5}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}$