極限値 $S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} (1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4)$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限値 $S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} (1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は、リーマン和の考え方を用いて定積分に変換して計算します。

$S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^{n} k^4$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^4}{n^4}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^4$

この式は、$f(x) = x^4$ の $0$ から $1$ までの定積分に対応します。

したがって、

$S = \int_0^1 x^4 dx$

$S = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1$

$S = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5}$

$S = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{5}$