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関数 $f(x) = x^2 \sin 2x$ の第5次導関数 $f^{(5)}(x)$ が、 $f^{(5)}(x) = (32x^2 - 160) \cos 2x + 160x \sin 2x$ と与えられている。このとき、$f^{(5)}(0)$ の値を求める。

解析学導関数微分三角関数代入
2025/6/4

1. 問題の内容

関数 f(x)=x2sin⁡2xf(x) = x^2 \sin 2x の第5次導関数 f(5)(x)f^{(5)}(x) が、
f(5)(x)=(32x2−160)cos⁡2x+160xsin⁡2xf^{(5)}(x) = (32x^2 - 160) \cos 2x + 160x \sin 2x
と与えられている。このとき、f(5)(0)f^{(5)}(0) の値を求める。

2. 解き方の手順

f(5)(x)=(32x2−160)cos⁡2x+160xsin⁡2xf^{(5)}(x) = (32x^2 - 160) \cos 2x + 160x \sin 2x に x=0x=0 を代入する。
cos⁡(2⋅0)=cos⁡0=1\cos(2 \cdot 0) = \cos 0 = 1
sin⁡(2⋅0)=sin⁡0=0\sin(2 \cdot 0) = \sin 0 = 0
であるから、
f(5)(0)=(32(0)2−160)cos⁡(2⋅0)+160(0)sin⁡(2⋅0)=(−160)⋅1+0=−160f^{(5)}(0) = (32(0)^2 - 160) \cos (2 \cdot 0) + 160(0) \sin (2 \cdot 0) = (-160) \cdot 1 + 0 = -160
したがって、f(5)(0)=−160f^{(5)}(0) = -160 となる。

3. 最終的な答え

-160

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