問題2の(1)の極限 $\lim_{x\to+0} x^x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題2の(1)の極限 $\lim_{x\to+0} x^x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x\to+0} x^x$ を求めるために、まず $y = x^x$ とおき、両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log (x^x) = x \log x$

次に、$\lim_{x\to+0} x \log x$ を求めます。これは不定形 $0 \cdot (-\infty)$ なので、$\frac{\log x}{1/x}$ と変形して、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to+0} x \log x = \lim_{x\to+0} \frac{\log x}{1/x}$

ここで、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to+0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x\to+0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to+0} (-x) = 0$

したがって、$\lim_{x\to+0} \log y = 0$ となります。 指数関数は連続なので、

$\lim_{x\to+0} y = \lim_{x\to+0} e^{\log y} = e^{\lim_{x\to+0} \log y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to+0} x^x = 1$